Задача 54087

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причём  MN = 12.
Найдите стороны параллелограмма.

Подсказка

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Решение

  Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке P, прямую CD – в точке M. Обозначим  AB = CD = a.  Тогда  BC = AD = 2a.  Поскольку
∠BPA = ∠DAP = ∠BAP,  то треугольник ABP – равнобедренный. Поэтому  BP = AP = a,  PC = BC – BP = 2a – a = a.
  Треугольники PMC и PAB равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому  MC = AB = a.  Аналогично,  DN = a.  Следовательно,
MN = MC + CD + DN = a + a + a = 3a = 12,  откуда  a = 4.

Ответ

4, 8, 4, 8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1850