|
|
 |
Условие
Докажите, что биссектрисы всех четырёх углов прямоугольника, не являющегося квадратом, при пересечении образуют квадрат.
Подсказка
Докажите, что углы полученного четырёхугольника прямые, а его стороны равны.
Решение
Поскольку биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом, то в пересечении образуется прямоугольник.
Опустим из вершин B и C прямоугольника ABCD перпендикуляры BK и CM на биссектрисы углов D и A соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников AMC и DKB (по гипотенузе и острому углу) следует, что MC = KB. Длины этих отрезков – это расстояния между биссектрисами противоположных углов прямоугольника ABCD, то есть длины сторон прямоугольника, образованного пересечениями биссектрис. Следовательно, стороны полученного прямоугольника равны
между собой, то есть это квадрат.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1875 |
