ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54116
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD, P – проекция вершины C на прямую AB, M – середина стороны AD.
Докажите, что  ∠DMP = 3∠APM.


Подсказка

Пусть N – середина стороны BC. Тогда PN – медиана прямоугольного треугольника BPC, проведённая к гипотенузе BC.


Решение

Пусть N – середина стороны BC, K – точка пересечения BC и PM. Обозначим  ∠APM = α.  Тогда PN – медиана прямоугольного треугольника BPC, проведённая к гипотенузе BC, поэтому  PN = BN = AB = MN,  а так как  MN || BP,  то  ∠MPN = ∠PMN = ∠BPK = α,  ∠PBK = ∠BPN = 2α.  Следовательно,  ∠DMP = ∠CKP = ∠PBK + ∠BPK = 3α.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1879

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .