Задача 54134

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две прямые, проходящие через точку C, касаются окружности в точках A и B. Может ли прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, касаться этой окружности?

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника и неравенством треугольника.

Решение

Предположим, что прямая, проходящая через середины P и Q отрезков AC и BC, касается окружности в точке M. Тогда

PQ = PM + QM = AP + BQ = CP + CQ,

что невозможно, т.к. CP + CQ > PQ.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1897