Задача 54140

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность проходит через середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC и касается катета AC. В каком отношении точка касания делит катет AC.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о диаметре окружности, перпендикулярном хорде, и теоремой о средней линии треугольника.

Решение

Пусть M — середина гипотенузы AB, N — середина катета BC, K — точка касания данной окружности с прямой AC, P — середина средней линии MN треугольника ABC. Перпендикуляр к AC, проведённый через точку K, проходит через центр окружности и делит пополам перпендикулярную ему хорду MN, т.е. проходит также через точку P. Тогда

CK = NP = MN = ^. AC = AC.

Следовательно, CK : AK = 1 : 3.

Ответ

1 : 3, считая от вершины C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1903