Задача 54145

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, равны 7 и 9, а медиана AM равна 8. Точки P и Q симметричны точке M относительно сторон AC и AB соответственно. Найдите периметр четырёхугольника APMQ.

Подсказка

Отрезки MQ и MP равны данным высотам.

Решение

Пусть BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC,  BB₁ = 7,  CC₁ = 9,  K и N – середины отрезков MP и MQ. Тогда MK и MN – средние линии треугольников CBB₁ и CBC₁ соответственно, поэтому  MP = 2MK = BB₁ = 7,  MQ = CC₁ = 9,  а так как  AQ = AM = 8  и   AP = AM = 8,  то искомый периметр равен
7 + 9 + 8 + 8 = 32.

Ответ

32.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1908