Задача 54148

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Средняя линия треугольника ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если  CD = a.

Подсказка

Проведите диаметр DD₁.

Решение

Проведём диаметр DD₁. Тогда  ∠DBD₁ = 90°,  поэтому  BD₁ || AC,  значит,  CD₁ = AB.  Перпендикуляр OM, опущенный на хорду CD₁, является средней линией треугольника DD₁C, следовательно,  OM = ^a/₂.  Поскольку равные хорды равноудалены от центра окружности, расстояние от центра окружности до хорды AB также равно  ^a/₂.

Ответ

^a/₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1911