|
Название задачи: Теорема о средней линии трапеции. |
 |
Условие
Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Решение
Пусть M и N середины боковых сторон соответственно AB и CD трапеции ABCD.
Первый способ. Соединим точки M и N с серединой K диагонали BD. Тогда MK и NK – средние линии треугольников ABD и BDC, поэтому
MK || AD || BC || NK, а так как через точку, не лежащую на прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной, то точки M, K и N лежат на одной прямой. Значит, MN || AD || BC.
В то же время MN = MK + KN = ½ AD + ½ BC = ½ (AD + BC}.
Второй способ. На продолжении отрезка BN за точку N отложим отрезок NP, равный BN. Треугольники DNP и CNB равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому DP = BC и ∠NDP = ∠NCB. Значит,
DP || BC, а так как через точку, не лежащую на прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной, то точки A, D и P лежат на одной прямой. Поэтому AP = AD + DP.
Отрезок MN – средняя линия треугольника ABP, поэтому MN = ½ AP = ½ (AD + DP).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1928 |
