Задача 54176

Темы:    [ Проекция на прямую ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка M — середина отрезка AB. Точки A₁, M₁ и B₁ — проекции точек соответственно A, M и B на некоторую прямую. Докажите, что M₁ — середина отрезка A₁B₁.

Решение

Пусть данная прямая l не пересекает отрезок AB. Тогда отрезок MM₁ проходит через середину M боковой стороны трапеции AA₁B₁B и параллелен основаниям AA₁ и BB₁. Значит, MM₁ — средняя линия трапеции. Следовательно, M₁ — середина боковой стороны A₁B₁.

Пусть прямая l пересекает отрезок AB. Тогда отрезок MM₁ проходит через середину M диагонали AB трапеции AA₁BB₁ и параллелен основаниям AA₁ и BB₁. Следовательно, M₁ — середина диагонали A₁B₁.

Случаи, когда точка A или B лежат на прямой l или ABl, очевидны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1939