Задача 54195

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B, пересекаются в точке M. Найдите хорду AB, если отрезок MO делится ею на отрезки, равные 2 и 18.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла.

Решение

Пусть отрезки AB и MO пересекаются в точке K. Биссектриса MK равнобедренного треугольника AMB является его высотой и медианой. AK – высота прямоугольного треугольника OAM, проведённая из вершины прямого угла, поэтому  AK² = MK·OK = 18·2 = 36.  Значит, AK = 6. Следовательно,  AB = 2AK = 12.

Ответ

12.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1958