Задача 54208

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Формула Герона ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

Решение

  Пусть  AH – высота треугольника ABC со сторонами  BC = 15,  AC = 14,  AB = 13.

  Первый способ. Поскольку BC – наибольшая сторона треугольника ABC, то точка H лежит на стороне BC. Обозначим  BH = x.  Тогда БикЮ CH = BC – BH = 15 – x.  По теореме Пифагора  13² – x² = 14² – x² ⇔ (15 – x)² = 14² – 15(15 – 2x) = 27,  откуда  x = ³³/₅.  Следовательно,
AH² = AB² – BH² = 13² – (³³/₅)² = ¹/₂₅ (65² – 33²) = ^32·98/₂₅ = (⁵⁶/₅)².

  Второй способ. По теореме косинусов  cos∠B = = ³³/₆₅,  а  AH = AB sin∠B = ⁵⁶/₅.

  Третий способ. По формуле Герона  S_ABC = = 7·3·4 = 84,  а  AH = ^2S_ABC/_BC = 2·⁸⁴/₁₅ = ⁵⁶/₅.

Ответ

⁵⁶/₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1971