Информация о задаче

Задача 54214

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр её описанной окружности лежит на большем основании.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на меньшее основание трапеции.

Решение

Первый способ.

Пусть O — центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 20 и BC = 12. По условию O — середина AD. Опустим перпендикуляр OM из центра окружности на основание BC. Так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то M — середина BC. Из прямоугольного треугольника OMC находим, что

OM = $\displaystyle \sqrt{OC^{2} - MC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100 - 36}$ = $\displaystyle \sqrt{64}$ = 8.

Пусть CH — перпендикуляр. опущенный из вершины C на основание AD. Тогда

CH = OM = 8, DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD - BC) = 4,

поэтому

AB = CD = $\displaystyle \sqrt{CH^{2} + DH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{64 + 16}$ = $\displaystyle \sqrt{80}$ = 4 $\displaystyle \sqrt{5}$ ,

BD = AC = $\displaystyle \sqrt{AH^{2} + CH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{16^{2} + 8^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{320}$ = 8 $\displaystyle \sqrt{5}$ .

Второй способ.

Пусть O — центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 20 и BC = 12, CH — перпендикуляр. опущенный из вершины C на основание AD. Тогда

AH = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ = 16, DH = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ = 4.

Поскольку точка C лежит на окружности с диаметром AD, то $\angle$ ACD = 90^o, поэтому CH — высота прямоугольного треугольника ACD, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,

CD² = DH^.AD = 4^.20, AC² = AH^.AD = 16^.20.

Таким образом, AB = CD = 4 $\sqrt{5}$ , AC = 8 $\sqrt{5}$ .

Ответ

4 $\sqrt{5}$ , 8 $\sqrt{5}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1977