Задача 54222

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Вершины M и N равностороннего треугольника BMN лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD со стороной, равной a . Найдите MN .

Решение

Прямоугольные треугольники ABM и CBN равны по катету и гипотенузе, поэтому

ABM = CBN = ( ABC - MBN) = (90^o - 60^o) = 15^o,
значит,
MND = 180^o - ( BNC + BNM) = 180^o - 75^o - 60^o = 45^o = ACD.
Следовательно, MN || AC . Пусть диагональ BD квадрата пересекает отрезок MN в точке K . Тогда BK и DK — высоты треугольников BMN и DMN . Обозначим MN = BM = BN = x . Из равнобедренного прямоугольного треугольника MDN и равностороннего треугольника BMN находим, что
DK=MN = , BK = ,
а т.к. DK + BK = BD = a , имеем уравнение
+ = a,
откуда находим, что x = ( - )a .

Ответ

( - )a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1985