Задача 54256

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Средняя линия трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Через середину M этой стороны проведён к ней перпендикуляр, пересекающий продолжение второй боковой стороны в точке P. Найдите MP.

Подсказка

Проведите среднюю линию трапеции и рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Пусть N – середина меньшей боковой стороны AB трапеции ABCD, K – проекция вершины C меньшего основания BC на большее основание AD. По теореме Пифагора  CK² = CD² – KD² = CD² – (AD – CD)² = 10² – 8² = 36.
  Из подобия треугольников NMP и KCD (по двум углам) находим, что  MN : CK = PM : CD.  Поэтому  PM = MN·^CD/_CK.  Поскольку  MN = ½ (AD + BC),  то
PM = 21·¹⁰/₆ = 35.

Ответ

35.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2019