Задача 54267

Темы:    [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD основание AB равно a, основание CD равно b.
Найдите площадь трапеции, если известно, что диагонали трапеции являются биссектрисами углов DAB и ABC.

Подсказка

Треугольники ADC и BDC – равнобедренные.

Решение

  Поскольку  ∠DCA = ∠CAB = ∠DAC,  то треугольник ADC – равнобедренный. Поэтому  AD = DC = b.  Аналогично  CB = b.
  Пусть CK – высота треугольника ACB. Тогда   CK² = b² – ¼ (a – b)² = ¼ (3b² + 2ab – a²).
  Следовательно,  S_ABCD = ½ (a + b)CK = ¼ (a + b).

Ответ

¼ (a + b).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2030