Задача 54279

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Площадь трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Продолжите биссектрису угла D до пересечения с продолжением основания BC.

Решение

  Пусть M – середина AB. Продолжим биссектрису DM угла ADC до пересечения с продолжением основания BC в точке K. Поскольку  ∠CKD = ∠ADK = ∠CDK,  то треугольник KCD равнобедренный,  KC = CD = 10.  Значит,  KB = KC – BC = 8.  Из равенства треугольников AMD и BMK следует, что  AD = BK = 8.
  Проведём через вершину C прямую, параллельную AB, до пересечения с основанием AD в точке P. Треугольник CPD прямоугольный, так как  CD² = 10² = 6² + 8² = DP² + PC².
Поэтому PC – высота трапеции. Следовательно,  S_ABCD = ½(AD + BC)CP = 40.

Ответ

40.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2042