Задача 54283

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагональ равнобедренной трапеции делит её тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42.
Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Докажите, что большее основание трапеции равно боковым сторонам.

Решение

  Пусть BC и AD – основания трапеции ABCD,  BC = 3,  CA – биссектриса угла BCD. Поскольку  ∠CAD = ∠BCA = ∠DCA,  то треугольник ACD – равнобедренный. Поэтому  AD = CD = AB = (42 – 3) : 3 = 13.
  Опустим перпендикуляр CK на основание AD. Тогда  DK = ½ (АD – BC) = 5,  CK² = CD² – KD² = 12².
  Следовательно,  S_ABCD = ½ (AD + BC)·CK = 96.

Ответ

96.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2046