ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54284
Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Площадь трапеции ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основания трапеции равны a и b, углы при большем основании равны 30o и 45o. Найдите площадь трапеции.


Подсказка

Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную боковой стороне трапеции.


Решение

Пусть a > b. Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке M, и перпендикуляр CK к AD.

Пусть $ \angle$A = 45o, $ \angle$D = 30o. Обозначим CK = h. Тогда

MK = KC = hKD = $\displaystyle \sqrt{3}$KC = h$\displaystyle \sqrt{3}$;

MD = AD - AM = AD - BC = a - b.

С другой стороны,

MD = MK + KD = h + h$\displaystyle \sqrt{3}$ = h($\displaystyle \sqrt{3}$ + 1) = a - b.

Отсюда находим, что h = $ {\frac{a - b}{\sqrt{3} + 1}}$. Следовательно,

SABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(AD + BC)CK =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{(a + b)(a - b)}{\sqrt{3} + 1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(a2 - b2)($\displaystyle \sqrt{3}$ - 1).


Ответ

$ {\frac{1}{4}}$(a2 - b2)($ \sqrt{3}$ - 1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2047

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .