ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54286
Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14 см, а биссектриса угла между ними равна 12 см.


Подсказка

Пусть AK - данная биссектриса треугольника ABC. Найдите sin$ \angle$А из уравнения S(ABC) = S(ACK) + S(ABK).


Решение

Пусть AK - биссектриса треугольника ABC, AC = 35, AB = 14, AK = 12. Обозначим $ \angle$CAB = 2$ \alpha$.

Поскольку S(ABC) = S(ACK) + S(ABK), то

(1/2) . AC . AB . sin 2$\displaystyle \alpha$ = (1/2) . AC . AK . sin$\displaystyle \alpha$ + (1/2) . AB . AK . sin$\displaystyle \alpha$.

Применив формулу sin 2$ \alpha$ = 2 . sin$ \alpha$ . cos$ \alpha$, найдем из полученного уравнения, что cos$ \alpha$ = 3/5. Отсюда следует, что sin$ \alpha$ = 4/5 и sin 2$ \alpha$ = 24/25. Тогда

S(ABC) = (1/2) . AC . AB . sin 2$\displaystyle \alpha$ = (1/2) . 35 . 14 . (24/25) = 235, 2.


Ответ

235,2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2049

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .