Задача 54291

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности, который параллелен гипотенузе,  ∠A = 75°.  Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

  Из центра O данной окружности опустим перпендикуляр OM на гипотенузу AB. Тогда  MC = MA = MB.  Поэтому   ∠MCB = ∠B = 15°,  ∠BCO = ∠B = 15°.  Следовательно,  ∠MCO = 30°.
  Пусть  OM = x.  Из прямоугольного треугольника MCO находим, что  MC = 2x.  По теореме Пифагора  OB² = OM² + MB²,  или  100 = x² + 4x²,  откуда
x² = 20.  Следовательно,  S_ABC = ½ AB·OM = 2x² = 40.

Ответ

40.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2054