Версия для печати
Убрать все задачи

---

В трапеции ABCD точки K и M являются соответственно серединами оснований AB и CD. Известно, что AM перпендикулярно DK и CK перпендикулярно BM, а угол CKD равен 60^o. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 1.

   Решение

Темы:    [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD точки K и M являются соответственно серединами оснований AB и CD. Известно, что AM перпендикулярно DK и CK перпендикулярно BM, а угол CKD равен 60^o. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 1.

Подсказка

Через вершины C и D проведите прямые, параллельные прямым MB и MA соответственно.

Решение

Обозначим AK = KB = a, DM = MC = b. Через точку C проведём прямую, параллельную BM, до пересечения с прямой AB в точке P, а через точку D — прямую, параллельную AM, до пересечения с прямой AB в точке Q. Тогда

Прямоугольные треугольники треугольники QDK и PCK равны по гипотенузе и высоте, проведённой к гипотенузе.

Предположим, что DQK = CKP. Тогда DQ || CK. Поэтому AQDM — параллелограмм, значит KQ = CD, т.е. b + a = 2b. Отсюда следует, что a = b, т.е. ABCD — параллелограмм, что противоречит условию задачи (ABCD — трапеция).

Таким образом,

а площадь каждого из этих треугольников равна половине площади трапеции (т.к. QK = AK + DM и PK = KB + MC). Следовательно,

Ответ

.

Источники и прецеденты использования