Информация о задаче

Задача 54310

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD точка M — середина BC, а O — точка пересечения DM и AC. Найдите угол MOC.

Подсказка

MOC — внешний угол треугольника ODC.

Решение

Поскольку MOC — внешний угол треугольника ODC, то

$\displaystyle \angle$ MOC = $\displaystyle \angle$ OCD + $\displaystyle \angle$ ODC = 45^o + arctg $\displaystyle {\frac{MC}{CD}}$ = 45^o + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Следовательно,

tg $\displaystyle \angle$ MOC = tg $\displaystyle \left(\vphantom{45^{\circ} + {\rm arctg }\frac{1}{2}}\right.$ 45^o + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{45^{\circ} + {\rm arctg }\frac{1}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{{\rm tg }45^{\circ} + {\rm tg }\left({\rm arctg }\frac{1}{2}\right)}{1 - {\rm tg }45^{\circ}{\rm tg }\left({\rm arctg }\frac{1}{2}\right)}}$ = $\displaystyle {\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}}$ = 3.

Ответ

45^o + arctg ${\frac{1}{2}}$ = arctg3 = arccos ${\frac{1}{\sqrt{10}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2073