Информация о задаче

Задача 54320

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Одно из оснований трапеции служит диаметром окружности радиуса R, а другое является хордой и отсекает от окружности дугу в $\alpha$ радиан ( 0 < $\alpha$ < $\pi$ ). Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Данная трапеция — равнобедренная.

Решение

Пусть AD — диаметр окружности, описанной около трапеции ABCD, O — центр этой окружности (середина AD). Тогда $\angle$ BOC = $\alpha$ .

Пусть OM — высота трапеции. Тогда

$\displaystyle \angle$ MOC = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , OM = R cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , MC = OC sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = R sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , BC = 2MC = 2R sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)^.OM = $\displaystyle \left(\vphantom{R + R\sin \frac{\alpha}{2}}\right.$ R + R sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{R + R\sin \frac{\alpha}{2}}\right)$ R cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = R² $\displaystyle \left(\vphantom{1 + \sin \frac{\alpha}{2}}\right.$ 1 + sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 + \sin \frac{\alpha}{2}}\right)$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Ответ

R² $\left(\vphantom{1 + \sin \frac{\alpha}{2}}\right.$ 1 + sin ${\frac{\alpha}{2}}$ $\left.\vphantom{1 + \sin \frac{\alpha}{2}}\right)$ cos ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2083