Задача 54324

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = ⁵/₉ BD.
Найдите площадь треугольника.

Решение

  Поскольку BA = BC,  то треугольник ABC – равнобедренный. Его медиана BD является высотой и биссектрисой. Поэтому центр O данной окружности лежит на луче BD.
  Обозначим  BL = 5x.  Тогда  BD = 9x,  DL = 4x,  OD = R – 4x.
  Как известно,  OС² = ОB·BL,  то есть R² = (R + 5x)(R – 4x).
  Отсюда  x = ^R/₂₀.  Следовательно,  BD = ^9R/₂₀,  OD = ^4R/₅,  AC² = 4CD² = 4OB·BD = ^36R/₂₅,  S_ABC = ½ AC·BD = ^27R²/₁₀₀.

Ответ

^27R²/₁₀₀.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2087