Информация о задаче

Задача 54326

Тема:

[

Теорема косинусов

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Медиана AD остроугольного треугольника ABC равна 5. Ортогональные проекции этой медианы на стороны AB и AC равны 4 и 2 $\sqrt{5}$ соответственно. Найдите сторону BC.

Подсказка

Найдите синусы и косинусы углов, образованных медианой со сторонами AB и AC, и воспользуйтесь равенством расстояний от вершин B и C до прямой AD.

Решение

Пусть P и Q — проекции точки D на AB и AC, M и N — проекции точек B и C на прямую AD. Обозначим

$\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \beta$ , AB = a, AC = b.

Тогда

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{AP}{AD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ , sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ ,

cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{AQ}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ , sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5}}}$ ,

BM = AB sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{3a}{5}}$ , CN = AC sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{b}{\sqrt{5}}}$ .

Из равенства прямоугольных треугольников CND и BMD следует, что BM = CN, т.е. ${\frac{3a}{5}}$ = ${\frac{b}{\sqrt{5}}}$ . Отсюда находим, что b = ${\frac{3a}{\sqrt{5}}}$ .

Выразив равные отрезки BD и CD по теореме косинусов из треугольников BAD и CAD соответственно, получим уравнение

a² + 25 - 2a^.5^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ = b² + 25 - 2b^.5^. $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ .

Заменив b на ${\frac{3a}{\sqrt{5}}}$ , получим, что a = 5.

По теореме косинусов из треугольника BAD найдем, что BD = $\sqrt{10}$ . Следовательно, BC = 2 $\sqrt{10}$ .

Ответ

2 $\sqrt{10}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2089