Задача 54338

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O,  AO = 2,  OC = 3.  Точка K лежит на стороне BC, причём  BK : KC = 1 : 2.  Треугольник AKD равносторонний. Найдите его площадь.

Подсказка

Докажите, что диагональ BD делит отрезок AK в отношении 2:1.

Решение

  Пусть P и Q – проекции точки K на диагонали AC и BD соответственно. Тогда  KQ = OP = ^OC/₃ = 1.
  Если M – точка пересечения отрезков AK и QO, то из подобия треугольников QMK и OMA следует, что  KM : MA = KQ : AO = 1 : 2.
  Обозначим  AK = KD = AD = x.  Тогда  MK = ^x/₃.  По теореме косинусов  DM² = MK² + KD² – 2MK·KD cos 60° = ^7x²/₉.  Поскольку  AM = ^2AK/₃,  то  S_AMD = ⅔ S_AKD,  или    Отсюда  x = .  Следовательно,  .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2101