|
|
 |
Условие
Точки K и M расположены соответственно на стороне BC и
высоте BP остроугольного треугольника ABC.
Найдите площадь равностороннего треугольника AMK, если известно, что AP = 3, PC = 11/2, BK : KC = 10 : 1.
Подсказка
Докажите, что прямая BP делит отрезок AK в отношении 3 : 5.
Решение
Пусть F и T – проекции точки K на AC и BP соответственно. Тогда PF = 10/11, PC = 5, KT = PF = 5.
Пусть Q – точка пересечения AK и BP. Из подобия треугольников APQ и AFK следует, что AQ : AK = AP : AF = 3 : 8.
Обозначим AK = KM = AM = x. Тогда AQ = 3x/8. По теореме косинусов MQ² = AM² + AQ² – 2AM·AQ cos 60° = x²(1 + 9/64 – 3/8) = 49/64 x².
Поскольку KT = 5 – высота треугольника MKQ и SMKQ = 5/8 SAMK, то MQ·KT = 5/4 SAMK, или Отсюда
Следовательно,
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2103 |
