Информация о задаче

Задача 54350

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника ABC равна 1, AC = 2BC, точка K — середина стороны AC. Окружность с центром в точке K пересекает сторону AB в точках M и N, при этом AM = MN = NB. Найдите площадь части треугольника ABC, заключённой внутри круга.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

Решение

Обозначим BC = a, R — радиус окружности. Тогда AC = 2a. Пусть F — проекция центра K окружности на сторону AB. Тогда F — середина MN, а значит, и середина AB. Поэтому KF — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный ( $\angle$ B = 90^o).

Поскольку AC = 2BC, то

$\displaystyle \angle$ A = 30^o, AB = a $\displaystyle \sqrt{3}$ , MN = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ , FM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MN = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{6}}$ ,

KF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ FKM = 30^o, R = KM = 2FM = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ ,

S_NKM = $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}}$ .

Поскольку R < CK ( ${\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ < a), то диаметр полукруга расположен внутри отрезка AC. Кроме того, расстояние от точки K до катета BC больше, чем радиус полукруга ( ${\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ > ${\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ ). Следовательно, искомая площадь равна разности площадей полукруга и сегмента, отсекаемого от полукруга хордой MN, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{2}}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi R^{2}}{6} - \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi R^{2}}{6} - \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}\right)$ = R² $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ a² $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$ .

Поскольку S_ABC = ${\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}}$ = 1, то a² = ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$ . Следовательно, искомая площадь равна

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right)^{2}_{}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ .

Ответ

${\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}}$ + ${\frac{1}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2113