ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54350
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника ABC равна 1, AC = 2BC, точка K — середина стороны AC. Окружность с центром в точке K пересекает сторону AB в точках M и N, при этом AM = MN = NB. Найдите площадь части треугольника ABC, заключённой внутри круга.


Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.


Решение

Обозначим BC = a, R — радиус окружности. Тогда AC = 2a. Пусть F — проекция центра K окружности на сторону AB. Тогда F — середина MN, а значит, и середина AB. Поэтому KF — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный ( $ \angle$B = 90o).

Поскольку AC = 2BC, то

$\displaystyle \angle$A = 30oAB = a$\displaystyle \sqrt{3}$MN = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$FM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$MN = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{6}}$,

KF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$$\displaystyle \angle$FKM = 30oR = KM = 2FM = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$,

S$\scriptstyle \Delta$NKM = $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}}$.

Поскольку R < CK ( $ {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ < a), то диаметр полукруга расположен внутри отрезка AC. Кроме того, расстояние от точки K до катета BC больше, чем радиус полукруга ( $ {\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ > $ {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$). Следовательно, искомая площадь равна разности площадей полукруга и сегмента, отсекаемого от полукруга хордой MN, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{2}}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi R^{2}}{6} - \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi R^{2}}{6} - \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}\right)$ = R2$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$a2$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$.

Поскольку S$\scriptstyle \Delta$ABC = $ {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}}$ = 1, то a2 = $ {\frac{2}{\sqrt{3}}}$. Следовательно, искомая площадь равна

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right.$$\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right)^{2}_{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$.


Ответ

$ {\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}}$ + $ {\frac{1}{6}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2113

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .