ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54354
Темы:    [ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Равнобедренный треугольник ABC ( $ \angle$C = 90o) и треугольник DEF расположены так, что точка D лежит на стороне AB, а точка E — на продолжении стороны AB за точку A. Отрезок KL является средней линией в обоих треугольниках, и площадь четырёхугольника DKLB составляет $ {\frac{5}{8}}$ площади треугольника ABC. Найдите угол DEF.


Подсказка

Докажите, что KD перпендикулярно AB.


Решение

Заметим, что точки C и F лежат по одну сторону от прямой AB. Обозначим AB = 4a. Тогда

KL = 2aED = 2KL = 4a.

Далее имеем:

SAKLB = S$\scriptstyle \Delta$ABC - S$\scriptstyle \Delta$KLC = S$\scriptstyle \Delta$ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC,

S$\scriptstyle \Delta$AKD = SAKLB - SDKLB = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{8}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC.

Если M — проекция точки K на AB, а P — середина AB, то KM — средняя линия треугольника ACP. Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$AKM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ACP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC.

Отсюда следует, что точки D и M совпадают. Тогда

tg$\displaystyle \angle$DEF = $\displaystyle {\frac{KD}{DE}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{4a}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.


Ответ

arctg$ {\frac{1}{4}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2117

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .