Информация о задаче

Задача 54354

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Равнобедренный треугольник ABC ( $\angle$ C = 90^o) и треугольник DEF расположены так, что точка D лежит на стороне AB, а точка E — на продолжении стороны AB за точку A. Отрезок KL является средней линией в обоих треугольниках, и площадь четырёхугольника DKLB составляет ${\frac{5}{8}}$ площади треугольника ABC. Найдите угол DEF.

Подсказка

Докажите, что KD перпендикулярно AB.

Решение

Заметим, что точки C и F лежат по одну сторону от прямой AB. Обозначим AB = 4a. Тогда

KL = 2a, ED = 2KL = 4a.

Далее имеем:

S_AKLB = S_ABC - S_KLC = S_ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ S_ABC,

S_AKD = S_AKLB - S_DKLB = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ S_ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{8}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ S_ABC.

Если M — проекция точки K на AB, а P — середина AB, то KM — средняя линия треугольника ACP. Поэтому

S_AKM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ACP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ S_ABC.

Отсюда следует, что точки D и M совпадают. Тогда

tg $\displaystyle \angle$ DEF = $\displaystyle {\frac{KD}{DE}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{4a}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Ответ

arctg ${\frac{1}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2117