Информация о задаче

Задача 54355

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Средняя линия KL равностороннего треугольника ABC является также средней линией треугольника DEF, у которого вершина D лежит на отрезке AC, а вершина F на продолжении стороны AC за точку C. Площадь четырёхугольника DKLC составляет ${\frac{3}{8}}$ площади треугольника DEF. Найдите угол EDF.

Подсказка

Пусть P — проекция точки K на AC. Докажите, что DP = ${\frac{1}{2}}$ AC.

Решение

Заметим, что точки B и E лежат по одну сторону от прямой AC, а треугольники ABC и DEF равновелики, т.к. у них равны основания (AC = DF) и высоты. Поэтому

S_DKA = S_CLKA - S_DKLC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ S_ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ S_EDF =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ S_ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ S_ABC.

Пусть P — проекция точки K на AC. Тогда

S_DKP = S_DKA - S_PKA = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ S_ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC.

Обозначим AC = a. Тогда

S_ABC = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}$ , KP = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{4}}$ , $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ DP^.KP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC, или $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ DP^. $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}$ .

Отсюда находим, что DP = ${\frac{a}{2}}$ . Следовательно,

tg $\displaystyle \angle$ KDA = $\displaystyle {\frac{KP}{PD}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ EDF = 180^o - $\displaystyle \angle$ KDA = 180^o - arctg $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Ответ

$\pi$ - arctg ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2118