Информация о задаче

Задача 54364

Темы:	[	Площадь трапеции	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD известно, что $\angle$ BAD = 45^o, $\angle$ ADC = 90^o. Окружность, центр которой лежит на отрезке AD, касается прямых AB, BC и CD. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен R.

Подсказка

Пусть O — центр окружности. Тогда треугольник OBA — равнобедренный.

Решение

Пусть O — центр окружности, K и F — её точки касания со сторонами BC и AB соответственно, P — проекция точки B на AD. Тогда AF = OF = R.

Поскольку $\angle$ OBA = $\angle$ OBC = $\angle$ BOA, то треугольник OBA — равнобедренный. Поэтому

OA = AB = BP $\displaystyle \sqrt{2}$ = OK $\displaystyle \sqrt{2}$ = R $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно,

BK = BF = AB - AF = R $\displaystyle \sqrt{2}$ - R = R( $\displaystyle \sqrt{2}$ - 1).

Тогда

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)^.BP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (DO + OA + BK + CK)^.BP =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (R + R $\displaystyle \sqrt{2}$ + R( $\displaystyle \sqrt{2}$ - 1) + R)R = $\displaystyle {\frac{R^{2}(1 + 2\sqrt{2})}{2}}$ .

Ответ

${\frac{R^{2}(1 + 2\sqrt{2})}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2127