Информация о задаче

Задача 54366

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD углы при основании AD равны 30^o, диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Биссектриса угла BCD пересекает основание AD в точке M, а отрезок BM пересекает диагональ AC в точке N. Найдите площадь треугольника ANM, если площадь трапеции ABCD равна 2 + $\sqrt{3}$ .

Подсказка

AN — биссектриса равнобедренного треугольника ABM.

Решение

Обозначим AB = CD = a. Поскольку $\angle$ BCA = $\angle$ DAC = $\angle$ BAC, то треугольник ABC — равнобедренный, BC = AB = a. Аналогично докажем, что треугольник CDM также равнобедренный, MD = CD = a. Тогда BCDM — ромб,

BM = CD = a, $\displaystyle \angle$ ABM = $\displaystyle \angle$ ABC - $\displaystyle \angle$ MBC = 150^o - 30^o = 120^o.

Из равнобедренного треугольника ABM ( AB = BM = a) находим, что AM = a $\sqrt{3}$ .

Поскольку AN — биссектриса треугольника ABC, то

$\displaystyle {\frac{MN}{NB}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{MN}{BM}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}}$ .

Следовательно,

S_AMN = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1)}}$ ^.S_ABM = $\displaystyle {\frac{3a^{2}}{4(\sqrt{3} + 1)}}$ .

Пусть CK — высота трапеции ( CK = ${\frac{1}{2}}$ CD = ${\frac{a}{2}}$ ). Тогда

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)^.CK, или 2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a $\displaystyle \sqrt{3}$ + a + a)a = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ a²(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Отсюда находим, что a² = 4. Следовательно,

S_AMN = $\displaystyle {\frac{3a^{2}}{4(\sqrt{3} + 1)}}$ = $\displaystyle {\frac{3}{\sqrt{3} + 1}}$ = $\displaystyle {\frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2}}$ .

Ответ

${\frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2129