Задача 54376

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC высота AD, медиана BE и биссектриса CF пересекаются в точке O. Найдите ∠C,  если OE = 2OC.

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольнику EOC.

Решение

  Пусть AC = 2,  ∠C = 2γ.  Тогда  CE = 1,  CD = 2 cos 2γ,  OC = 2 cos 2γ sec γ,  OE = 4 cos 2γ sec γ.
  По теореме косинусов  EO² = CO² + CE² – 2CO·CE cos γ,  или  16 cos²2γ sec²γ = 4 cos²2γ sec²γ + 1 – 4 cos 2γ  ⇔  12cos²2γ = cos²γ – 4 cos 2γ cos² γ  ⇔  24 cos² 2γ = (1 + cos 2γ)(1 – 4 cos 2γ).
Отсюда cos 2γ = ¹/₇.

Ответ

arccos ¹/₇;.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2139