Задача 54378

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку B, касаются окружности в точках D и E. Найдите площадь треугольника DBE, если  AB = BC = 2,  ∠B = 2 arcsin ,  а радиус окружности равен 1.

Решение

  Пусть O – центр окружности, P – середина AC, Q – середина DE,  ∠ABP = ∠CBP = α.  Тогда  BP = AB cos α = ,  AP = AB sin α =
OP² = AO² – AP² = ¹/₅,  BO = BP – OP = ,  BE² = BO² – OE² = ⁴/₅,  S_BOE = ½ BE·BO = .
  Треугольник BEQ подобен треугольнику BOE с коэффициентом  ^BE/_BO = ²/₃,  поэтому  S_DBE = 2S_BEQ = ⁸/₉ S_BOE = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2141