Задача 54380

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность, центр которой лежит вне квадрата ABCD, проходит через точки B и C.
Найдите угол между касательными к окружности, проведёнными из точки D, если отношение стороны квадрата к диаметру окружности равно  3 : 5.

Решение

  Опустим из центра O окружности перпендикуляр OP на прямую DC.
  Пусть сторона квадрата равна 6x, диаметр окружности – 10x. Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC квадрата, то
OP = 3x.  Значит,  CP² = OC² – OP² = 16x²,  DP = DC + CP = 10x,  DO² = DP² + OP² = 109x².
  Следовательно, если K – точка касания, то   sin∠KDO = ^OK/_DO = .

Ответ

2 arcsin.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2143