Информация о задаче

Задача 54390

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD ( BC || AD пересекаются в точке O. Найдите стороны AB и BC, если $\angle$ A = 2 arccos $\sqrt{\frac{5}{6}}$ , OC = $\sqrt{7}$ , OD = 3 $\sqrt{15}$ , AD = 5BC

Подсказка

Обозначьте AB = x, BC = a и составьте с помощью теоремы косинусов для треугольников AOD и BOC два уравнения относительно a и x. Из этих уравнений можно исключить a.

Решение

Обозначим AB = x, BC = a, $\angle$ BAD = 2 $\alpha$ . Тогда

AD = 5a, $\displaystyle \angle$ OAB = $\displaystyle \angle$ OAD = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AOB = 90^o,

$\displaystyle \angle$ OBC = $\displaystyle \angle$ OBA = 90^o - $\displaystyle \alpha$ , AO = AB cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{x\sqrt{5}}{\sqrt{6}}}$ ,

OB = AB sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{6}}}$ .

По теореме косинусов из треугольника AOD находим, что

OD² = AO² + AD² - 2AO^.AD cos $\displaystyle \alpha$ , или 135 = $\displaystyle {\frac{5x^{2}}{6}}$ + 25a² - $\displaystyle {\frac{25ax}{3}}$ .

Из треугольника BOC аналогично находим, что

7 = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{6}}$ + a² - $\displaystyle {\frac{ax}{3}}$ .

Умножим второе уравнение на 25 и вычтем из него первое. Получим, что 40 = ${\frac{10x^{2}}{3}}$ . Следовательно, x² = 12 и AB = x = 2 $\sqrt{3}$ . Из второго уравнения находим, что

a² - $\displaystyle {\frac{2a\sqrt{3}}{3}}$ - 5 = 0.

Отсюда следует, что BC = a = ${\frac{5\sqrt{3}}{3}}$ .

Ответ

2 $\sqrt{3}$ , ${\frac{5\sqrt{3}}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2153