Информация о задаче

Задача 54392

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь параллелограмма, если $\angle$ A = 2 arcsin ${\frac{2}{\sqrt{13}}}$ , OA = 2 $\sqrt{10}$ , OD = 5. (Найдите все решения).

Подсказка

Обозначьте BC = x, AB = a и составьте с помощью теоремы косинусов для треугольников OCD и OAB два уравнения относительно a и x. Из этих уравнений можно исключить x.

Решение

Обозначим

BC = AD = x, AB = CD = a, $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \angle$ BCD = 2 $\displaystyle \alpha$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ BCO = $\displaystyle \angle$ DCO = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ BOC = 90^o, $\displaystyle \angle$ ABO = $\displaystyle \angle$ CBO = 90^o - $\displaystyle \alpha$ ,

BO = BC sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2x}{\sqrt{13}}}$ , OC = BC cos $\displaystyle \alpha$ = 3x $\displaystyle \sqrt{13}$ .

По теореме косинусов из треугольника OCD находим, что

OD² = OC² + CD² - 2OC^.CD cos $\displaystyle \alpha$ , или 25 = $\displaystyle {\frac{9x^{2}}{13}}$ + a² - $\displaystyle {\frac{18ax}{13}}$ = $\displaystyle {\frac{9(x^{2}- 2ax)}{13}}$ + a².

Из треугольника OAB аналогично находим, что

40 = $\displaystyle {\frac{4(x^{2}- 2ax)}{13}}$ + a².

Умножим второе уравнение на 9 и вычтем из него первое, умноженное на 4. Получим, что 260 = 5a². Поэтому a = 2 $\sqrt{13}$ .

Подставив полученное значение a во второе уравнение, получим квадратное уравнение относительно x:

x² - 4x $\displaystyle \sqrt{13}$ + 39 = 0.

Следовательно, x = 3 $\sqrt{13}$ или x = $\sqrt{13}$ . В первом случае

S_ABCD = ax sin 2 $\displaystyle \alpha$ = 2ax sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \alpha$ = 72,

во втором — S_ABCD = 24.

Ответ

24 или 72.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2155