Задача 54396

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  медиана AD и биссектриса CE перпендикулярны. Найдите величину угла ADB.

Подсказка

Треугольник ACD – равнобедренный.

Решение

  Обозначим  CD = DB = a,  ∠C = α < 90°.  Пусть P – точка пересечения биссектрисы CE и медианы AD. Тогда биссектриса CP треугольника ACD является его высотой. Поэтому треугольник ACD – равнобедренный,   AC = CD = a.
  Если BM – высота треугольника ABC, то  cos α = ^MC/_BC = ¼,  sin ^α/₂ = = .
  Следовательно,  cos∠ADB = cos(90° + ^α/₂) = – sin ^α/₂ = – .

Ответ

180° – arccos.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2159