Информация о задаче

Задача 54404

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Два равнобедренных треугольника ABC (AB = BC) и MNP (MP = NP) подобны и расположены так, что точки M, N и P лежат соответственно на сторонах AB, BC и CA. Найдите отношение ${\frac{MP}{AB}}$ , если ${\frac{NC}{BN}}$ = 2, a угол BAC равен arctg4.

Подсказка

Примените теорему синусов.

Решение

Пусть

$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \angle$ BAC, $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \angle$ MNB, AB = BC = a, PM = PN = x.

Тогда

BN = $\displaystyle {\frac{a}{3}}$ , NC = $\displaystyle {\frac{2a}{3}}$ , MN = 2x cos $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ MPN = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ MPA = 2 $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ BMN = 2 $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ .

В треугольнике BMN по теореме синусов

$\displaystyle {\frac{BM}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{2x\cos \alpha}{\sin 2\alpha}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ BM = $\displaystyle {\frac{x\sin \beta}{\sin \alpha}}$ .

В треугольнике AMP по теореме синусов

$\displaystyle {\frac{AM}{\sin (2\alpha - \beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{\sin \alpha}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ AM = $\displaystyle {\frac{x\sin (2\alpha - \beta)}{\sin \alpha}}$ .

Поскольку

AM + BM = a = $\displaystyle {\frac{x(\sin (2\alpha - \beta) + \sin \beta)}{\sin \alpha}}$ = 2x cos( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ ),

то a = 2x cos( $\alpha$ - $\beta$ ).

В треугольнике PNC по теореме синусов

$\displaystyle {\frac{x}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{2a}{3\sin \beta}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ a = $\displaystyle {\frac{3x\sin \beta}{2\sin \alpha}}$ .

Следовательно,

cos( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\frac{3\sin \beta}{4\sin \alpha}}$ , или cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{3\sin \beta}{4\sin \alpha}}$ .

Поскольку sin $\alpha$ = ${\frac{4}{\sqrt{17}}}$ и cos $\alpha$ = ${\frac{1}{\sqrt{17}}}$ , то

cos $\displaystyle \beta$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{16}}$ , sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{16}{5\sqrt{17}}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{x}{a}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{6}}$ .

Ответ

${\frac{5}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2167