Информация о задаче

Задача 54422

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB равна ${\frac{25}{64}}$ , сторона BC равна 12 ${\frac{25}{64}}$ , сторона AD равна 6 ${\frac{1}{4}}$ . Известно, что угол DAB острый, угол ADC тупой, причём синус угла DAB равен ${\frac{3}{5}}$ , косинус угла ABC равен - ${\frac{63}{65}}$ . Окружность с центром в точке O касается сторон BC, CD и AD. Найдите OC.

Подсказка

Пусть P — точка пересечения продолжений отрезков DA и CB. Найдите стороны и углы треугольника DCP (в который вписана данная окружность) с помощью теоремы синусов.

Решение

Пусть $\angle$ DAB = $\alpha$ , $\angle$ ABC = $\beta$ . Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ , cos $\displaystyle \beta$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{63}{65}}$ , sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{65}}$ ,

sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) = sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ + cos $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{13}}$ .

Значит, $\alpha$ + $\beta$ > 180^o. Поэтому прямые AD и BC пересекаются в точке P, которая разделена с точками D и C прямой AB. Тогда

$\displaystyle \angle$ APB = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ - 180^o.

По теореме синусов найдем PB из треугольника APB:

PB = $\displaystyle {\frac{AB\sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta - 180^{\circ}}}$ = - $\displaystyle {\frac{AB\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{39}{64}}$ .

Поэтому PC = PB + BC = 13.

По теореме синусов из треугольника DPC находим, что

sin $\displaystyle \angle$ PDC = $\displaystyle {\frac{PC \sin \angle P}{DC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Тогда cos $\angle$ PDC = - ${\frac{3}{5}}$ .

По теореме синусов из треугольника DCP находим, что

PD = $\displaystyle {\frac{PC\sin \angle C}{\sin \angle PDC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{33}{4}}$ .

Пусть r — радиус данной окружности, O — её центр. Тогда

r = $\displaystyle {\frac{2S_{\Delta DPC}}{PC + DC + DP}}$ = $\displaystyle {\frac{PC\cdot CD\sin \angle C}{PC + DC + DP}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Пусть K — точка касания окружности со стороной DC. Из прямоугольного треугольника OKC находим, что

OC = $\displaystyle {\frac{r}{\sin \frac{1}{2}\angle C}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sqrt{1-\cos \frac{1}{2}\angle C}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{130}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{130}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2186