Информация о задаче

Задача 54432

Тема:

[

Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами A, B, C, D и точка O. Известно, что OB = OD = 13, OC = = 5 $\sqrt{2}$ и что площадь квадрата больше 225. Найдите длину стороны квадрата и выясните, где расположена точка O - вне или внутри квадрата.

Подсказка

Точка O принадлежит прямой, содержащей диагональ AC данного квадрата.

Решение

Пусть K - центр данного квадрата. Точка O равноудалена от вершин B и D. Поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к диагонали BD, т.е. на прямой, содержащей диагональ AC.

Пусть a - сторона данного квадрата. Поскольку S(ABCD) = = a² > 225, то a > 15, и BD = AC = a $\sqrt{2}$ > 15 $\sqrt{2}$ . Поэтому OC = 5 $\sqrt{2}$ < < 15 $\sqrt{2}$ /2 < CK.

Пусть точки O и C расположены по одну сторону от прямой BD. Предположим, что точка O лежит вне данного квадрата. Тогда

OK = OC + CK > 5 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 15 $\displaystyle \sqrt{2}$ /2 = 12, 5 $\displaystyle \sqrt{2}$ > 13 = OD,

что невозможно, т.к. OK - катет прямоугольного треугольника OKD с гипотенузой OD = 13. Следовательно, точка O лежит на отрезке CK.

По теореме Пифагора из треугольника OKD находим:

OD² = OK² + KD²,или169 = (a $\displaystyle \sqrt{2}$ /2 - 5 $\displaystyle \sqrt{2}$ )² + (a $\displaystyle \sqrt{2}$ /2)².

Решив это уравнение, получим, что a = 17.

Ответ

17; внутри.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2196