Информация о задаче

Задача 54433

Тема:

[

Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В плоскости даны квадрат с последовательно расположенными вершинами A, B, C, D и точка O, лежащая вне квадрата. Известно, что AO = OB = 5 и OD = $\sqrt{13}$ . Найдите площадь квадрата.

Подсказка

Составьте уравнение относительно стороны квадрата. Одно из решений этого уравнения противоречит условию задачи.

Решение

Обозначим через x сторону квадрата. Пусть P - проекция точки O на прямую AD. Из условия задачи следует, что точки O и A лежат по разные стороны от прямой CD.

Поскольку точка O равноудалена от точек A и B, то точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезкам AB и CD. Следовательно, OP = CD/2 = x/2.

По теореме Пифагора находим из прямоугольных треугольников APO и DPO:

AP = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}- OP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{25 -x^{2}/4}$ ;DP = $\displaystyle \sqrt{OD^{2}- OP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{13 -x^{2}/4}$ .

Поскольку AD + DP = AP, то x + $\sqrt{13 -x^{2}/4}$ = $\sqrt{25 -x^{2}/4}$ .

Из полученного уравнения находим, что x² = 2 или x² = 36. Во втором случае AD = 6, что невозможно, т. к.

AP = AD + DP = 6 + DP > 5 = AO.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2197