|
|
 |
Условие
В трапеции ABCD одно основание в два раза больше другого. Меньшее основание равно c. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, а отношение боковых сторон равно k. Найдите боковые стороны трапеции.
Подсказка
Выразите боковые стороны трапеции через квадраты отрезков, на которые диагонали трапеции делятся их точкой пересечения.
Решение
Пусть O – точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD, BC = c, AD = 2c. Обозначим CD = x. Тогда AB = kx.
Пусть OC = a, OB = b. Тогда из подобия треугольников AOD и COB следует, что AO = 2a, OD = 2b.
По теореме Пифагора AB² = OB² + OA², CD² = OC² + OD², или k²x² = b² + 4a², x² = a² + 4b².
Сложив эти два равенства, получим, что x²(k² + 1) = 5(a² + b²).
Из прямоугольного треугольника BOC следует, что a² + b² = c².
Поэтому x²(k² + 1) = 5c². Следовательно,
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2205 |
