Информация о задаче

Задача 54442

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC медианы AE и BD, проведённые к сторонам BC и AC, пересекаются под прямым уголом. Сторона BC равна a. Найдите другие стороны треугольника ABC, если AE² + BD² = d².

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть O — точка пересечения медиан. Обозначим OE = x, OD = y. Тогда

AO = 2x, BO = 2y, AE = 3x, BD = 3y,

и по условию задачи

9x² + 9y² = 9(x² + y²) = d².

Следовательно,

AB² = 4x² + 4y² = 4(x² + y²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ d².

Поэтому

AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ d, AC = 2AD = 2 $\displaystyle \sqrt{AO^{2} + DO^{2}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{4x^{2}+ y^{2}}$ ,

а x и y найдем из системы уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x^{2} + y^{2} = \frac{d^{2}}{9}\\ x^{2} + 4y^{2} = \frac{a^{2}}{4}.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x^{2} + y^{2} = \frac{d^{2}}{9}\\ x^{2} + 4y^{2} = \frac{a^{2}}{4}.\\ \end{array}$

Ответ

${\frac{2d}{3}}$ , $\sqrt{\frac{20d^{2}}{9} - a^{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2206