Информация о задаче

Задача 54450

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC высота, опущенная на гипотенузу AB, равна a, а биссектриса прямого угла равна b. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

С помощью формулы площади треугольника выразите указанную биссектрису через катеты треугольника.

Решение

Пусть CL и CH — соответственно биссектриса и высота треугольника ABC. Обозначим BC = x, AC = y.

Поскольку AB^.CH = BC^.AC, то

a $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ = xy, или x²y² = a(x² + y²) = a((x + y)² - 2xy).

Поскольку S_ABC = S_BCL + S_ACL, то x + y = ${\frac{xy\sqrt{2}}{b}}$ .

Подставив найденное выражение для x + y в первое уравнение, получим, что

xy = $\displaystyle {\frac{2a^{2}b^{2}}{2a^{2}- b^{2}}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xy = $\displaystyle {\frac{a^{2}b^{2}}{2a^{2}- b^{2}}}$ .

Ответ

${\frac{a^{2}b^{2}}{2a^{2}- b^{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2214