Информация о задаче

Задача 54452

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В правильный треугольник ABC вписан прямоугольный треугольник MNC так, что вершина прямого угла N лежит на AC, а вершина M лежит на стороне AB. В каком отношении точка N должна делить сторону AC, чтобы площадь треугольника MNC составляла ${\frac{4}{9}}$ площади треугольника ABC?

Решение

Пусть AB = AC = BC = a, CN = x. Из условия задачи следует, что x > ${\frac{a}{2}}$ .

Из прямоугольного треугольника ANM находим, что

MN = ANtg $\displaystyle \angle$ MAN = (a - x)tg60^o = (a - x) $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Тогда

S_MNC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CN^.MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ x^.(a - x) $\displaystyle \sqrt{3}$ .

По условию

S_MNC = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ S_ABC, или $\displaystyle {\frac{x(a-x)\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}$ .

Из этого уравнения находим, что x = ${\frac{a}{3}}$ или x = ${\frac{2a}{3}}$ . Условию x > ${\frac{a}{2}}$ удовлетворяет только ${\frac{2}{3}}$ a. Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AN}{NC}}$ = $\displaystyle {\frac{a-x}{x}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Ответ

${\frac{AN}{NC}}$ = ${\frac{1}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2216