Информация о задаче

Задача 54458

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол B — прямой) взята точка D, причём площади треугольников ABD и BCD соответственно в три и в четыре раза меньше площади треугольника ABC. отрезки AD и DC равны соответственно a и c. Найдите BD.

Подсказка

Расстояние от точки D до катетов BC и AB равны ${\frac{1}{4}}$ AB и ${\frac{1}{3}}$ BC соответственно.

Решение

Пусть P и Q — проекции точки D на катеты BC и AB. Обозначим BC = x, AB = y. Из условия задачи следует, что

BP = QD = $\displaystyle {\frac{x}{3}}$ , BQ = DP = $\displaystyle {\frac{y}{4}}$ .

Поэтому PC = ${\frac{2x}{3}}$ , AQ = ${\frac{3y}{4}}$ .

По теореме Пифагора из треугольников DPC и DQA находим, что

$\displaystyle {\frac{4x^{2}}{9}}$ + $\displaystyle {\frac{y^{2}}{4}}$ = c², $\displaystyle {\frac{x^{2}}{9}}$ + $\displaystyle {\frac{9y^{2}}{4}}$ = a².

Умножив обе части первого уравнения на 8, а второго на 3 и сложив почленно эти уравнения, получим, что

$\displaystyle {\frac{35x^{2}}{9}}$ + $\displaystyle {\frac{35y^{2}}{16}}$ = 8c² + 3a².

Отсюда следует, что

BD = $\displaystyle \sqrt{BP^{2}+ BQ^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{8c^{2}+3a^{2}}{35}}$ .

Ответ

$\sqrt{\frac{8c^{2}+3a^{2}}{35}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2222