Информация о задаче

Задача 54465

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В правильном треугольнике ABC со стороной a точки E и D являются серединами сторон BC и AC соответственно. Точка F лежит на отрезке DC, отрезки BF и DE пересекаются в точке M. Найдите ME, если известно, что площадь четырёхугольника ABMD составляет ${\frac{5}{8}}$ площади треугольника ABC.

Подсказка

DM = ${\frac{a}{4}}$ , DF = ${\frac{a}{6}}$ .

Решение

Высота трапеции ABMD равна половине высоты треугольника ABC. Поэтому

S_ABMD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB + MD)h = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{8}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.h,

где h — высота треугольника ABC. Отсюда находим, что MD = ${\frac{1}{4}}$ AB = ${\frac{a}{4}}$ . Из подобия треугольников MDF и BAF следует, что DF = ${\frac{1}{3}}$ AD = ${\frac{a}{6}}$ . Из треугольника DMF находим по теореме косинусов, что

MF = $\displaystyle \sqrt{DF^{2}+ DM^{2}- 2DF\cdot DM\cos 60^{\circ}}$ =

= a $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{16} - \frac{1}{24}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{7}}{12}}$ .

Ответ

${\frac{a\sqrt{7}}{12}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2229