Информация о задаче

Задача 54477

Темы:	[	Площадь трапеции	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке M, а перпендикуляр, опущенный из вершины A на сторону BC, пересекает BC в точке N, причём BN = NC и AM = 2MD. Найдите стороны и площадь четырёхугольника ABCD, если его периметр равен 5 + $\sqrt{3}$ , а угол BAD равен 90^o и угол ABC равен 60^o.

Подсказка

Четырёхугольник ABCD — трапеция.

Решение

Пусть F и Q — проекции точки C на прямые AB и AD соответственно. Обозначим BN = NC = x. Тогда

AB = 2x, AM = $\displaystyle {\frac{2x\sqrt{3}}{3}}$ , MD = $\displaystyle {\frac{x\sqrt{3}}{3}}$ ,

AQ = FC = BC^.sin 60^o = x $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

т.е. AQ = AD. Поэтому

CD = AF = AB - BF = 2x - x = x.

По условию задачи

AB + BC + CD + AD = 5 + $\displaystyle \sqrt{3}$ , или 2x + 2x + x + $\displaystyle \sqrt{3}$ x = (5 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )x = 5 + $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Отсюда находим, что x = 1.

Поскольку ABCD — трапеция, то

S_ABCD = $\displaystyle {\frac{AB + CD}{2}}$ ^.AD = $\displaystyle {\frac{2 + 1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ .

Ответ

AB = BC = 2, AD = $\sqrt{3}$ , DC = 1, S_ABCD = ${\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2241