Информация о задаче

Задача 54479

Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны, BC = a, AD = b, $\angle$ CAD = $\alpha$ , $\angle$ BAC = $\beta$ . Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Через вершину B проведите прямую, параллельную диагонали AC, до пересечения с прямой AD в точке M. Тогда S_ABCD = S_MBD.

Решение

В треугольнике ABC

$\displaystyle \angle$ ABC = 180^o - $\displaystyle \angle$ BCA - $\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ).

Из этого треугольника, по теореме синусов находим, что

AC = $\displaystyle {\frac{BC\sin (\alpha + \beta)}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sin (\alpha + \beta)}{\sin \beta}}$ .

Через вершину B проведём прямую, параллельную диагонали AC, до пересечения с прямой AD в точке M. Тогда

S_ABCD = S_MBD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MB^.MD sin $\displaystyle \angle$ BMD =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC(MA + AD)sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a(a + b)\sin \alpha \sin ( \alpha + \beta)}{2\sin \beta}}$ .

Ответ

${\frac{a(a + b)\sin \alpha \sin (\alpha + \beta)}{2\sin \beta}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2243